Widerspruch in der formalen Logik

Der Widerspruch in der formalen Logik

Zum Verhältnis von formaler Logik und dialektischer Logik

von Stephan Siemens

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1. Einleitung

Der Satz vom ausgeschlossenen oder zu vermeidenden Widerspruch ist einer der Grundsätze der formalen Logik. Wie verhält sich die Dialektik zu diesem Grundsatz? Diese Frage wird tatsächlich selten klar beantwortet. Oft scheint es eine den Dialektikern geradezu peinliche Frage zu sein. Dabei lohnt sie die Beschäftigung damit. Aber der Titel dieses Vortrags klingt doppeldeutig. Geht es darum, wie in der formalen Logik mit Widersprüchen umgegangen wird? Oder behauptet man, dass der formalen Logik ein Widerspruch innewohnt, um dessen Beseitigung sie sich vergeblich bemüht? Wie in der Dialektik üblich, wird wohl beides der Fall sein. Beides bildet eine Einheit, die einen Aspekt der Dialektik der formalen Logik darstellt. Die Dialektik enthält eine Theorie der formalen Logik, während sie sich selbst aus der Sicht der formalen Logik mit dem Verdacht auseinandersetzen muss, "Unsinn" zu sein. Gerade die Auseinandersetzungen mit einem solchen Verdacht, der zu einer Selbstkritik der dialektischen Philosophie herausfordert, ist die Energie, die die dialektische Philosophie motiviert.

2. Was besagt der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch?

Der Leser mag sich verwundert fragen: Ja soll denn in diesem Text dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch widersprochen werden? Das ist doch wohl kaum möglich. Denn ein Text wendet sich an Leser und soll so betrachtet verständlich sein. Er ist aber nicht verständlich wenn in einem und demselben Satz etwas zugleich behauptet und bestritten wird. Ein solcher Text würde den Leser und die Leserin verwirren. Er wäre unverständlich. Nach der Auffassung der Vertreter des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch kann man einen solchen Satz, der einen Widerspruch behauptet, nicht verstehen. Nur wenn er keinen Widerspruch enthält, ist der Satz zu verstehen. Und so viel scheint klar zu sein: Entweder enthält der Satz einen Widerspruch, oder er enthält keinen Widerspruch. Wenn er keinen Widerspruch enthält, dann ist er - zumindest insoweit - verständlich. Sollte er aber einen Widerspruch enthalten, ist er unverständlich. Das ist ein erstes Beispiel für den Satz vom Widerspruch selbst. Allgemein gesprochen: Wenn ein Satz ein und dasselbe behauptet und bestreitet - logisch zugleich -, dann handelt es sich um einen Satz, der dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch widerspricht. Der Widerspruch ist schon dadurch - so scheint es - ausgeschlossen, dass man ihn nicht verstehen kann. Geht man von der Sprache und ihrer Verständlichkeit aus, so muss man versuchen, einen Widerspruch zu vermeiden.

Um den Satz vom zu vermeidenden oder ausgeschlossenen Widerspruch zu verstehen, ist es vielleicht nützlich, sich klar zu machen, was der Satz vom Widerspruch nicht bedeutet. Wenn zwei Freunde eine Münze werfen und auf Kopf oder Zahl wetten, dann ist es praktisch äußerst relevant, ob die Münze - wenn sie gefallen ist - Kopf zeigt oder Zahl. In praktisch allen Fällen wird sie das eine oder das andere in Wirklichkeit tun. Dies ist jedoch kein Beispiel für den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch. Denn beide Fälle, der in dem die Münze Kopf zeigt, und der, in dem die Münze Zahl zeigt, sind Fälle, die unmittelbar sichtbar sind. Als ein Gesetz betrachtet, ist der Satz, dass die Münze entweder Kopf oder Zahl zeigt, ein Satz, der mit hoher Wahrscheinlichkeit wahr ist. Aber es bleibt eine minimale Restgröße, in der etwa die Münze auf keinen festen Untergrund fällt und verschwindet, oder die Münze auf dem Rand stehen bleibt, oder im Flug von einer Elster geklaut worden ist. So unwahrscheinlich diese Fälle auch sein mögen: Sie reichen aus, um diesen Fall von einem solche zu unterscheiden, in dem der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch zur Anwendung kommt.

Denn der Satz vom zu vermeidenden Widerspruch ist nicht ein Gesetz der Wirklichkeit, sondern des Denkens. Er gilt - sofern er überhaupt gilt - nur und ausschließlich im Denken. Bei der Münze kann man - nachdem sie gefallen ist - in der Regel sehen,was der Fall ist, ob sie nun den Kopf zeigt oder die Zahl (oder - wenn man die Restgröße einbezieht - keines von beiden). Das ist bei einem Fall des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch nicht der Fall. Da kann man nur einen Fall sehen. Die entsprechende Formulierung, die dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch entspricht, lautet: Entweder die Münze zeigt die Zahl oder sie zeigt nicht die Zahl, sondern es ist irgendwie anders. Letzteres kann man nicht sehen oder anders sinnlich wahrnehmen. Man kann es nur denken.Und es enthält sogar einen minimalen Schluss. Man kann etwa sehen: Die Münze steht auf ihrem Rand. Der Schluss geht dann weiter: Also zeigt sie nicht die Zahl. Natürlich kann es auch sein, dass die Münze gar nicht mehr zu sehen ist. Auch dann zeigt sie nicht die Zahl etc. Alle - unterschiedenen - Fälle, in denen die Münze nicht die Zahl zeigt, sind zu einem Fall zusammengefasst. Dieser Fall ist der, dass die Münze nicht die Zahl zeigt, und dieser Fall lässt sich nur denken. Denn es ist darin ein e Schlussfolgerung enthalten.

Was aber soll das, so unterschiedliche Fälle in einen Fall - in unserem Fall den negativen Fall - zusammenzufassen? Wenn einer der Fälle des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch nicht gilt, dann stimmt notwendig der andere Fall. Deswegen ist es wichtig, dass der eine Fall so formuliert ist, dass er tatsächlich nur das Negative des anderen Falls darstellt, und nicht selbst positiv bestimmt ist. Wenn die Münze Zahl zeigt, dann ist dies der positiv bestimmte Fall. Wenn die Zahl nicht zu sehen ist, dann ist der positiv bestimmte Fall nicht eingetreten, sondern irgendetwas anderes. Der Satz "Entweder zeigt die Münze Zahl oder sie zeigt nicht Zahl." gilt nach dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch ausnahmslos; denn er besteht aus zwei Fällen, wobei der zweite Fall das Nicht-Bestehen des ersten Falls ist. Entweder besteht der erste Fall, dann ist der Satz deswegen wahr. Oder er besteht nicht, dann ist der Satz deswegen wahr. Also ist der Satz immer wahr. Denn keiner der beiden Fälle muss notwendig bestehen.

3. Widerspruch gegen den Satz vom Widerspruch?

Erschrocken mag sich nun der Leser oder die Leserin fragten: Aber klang das nicht am Anfang so, als ob die Dialektik dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch widersprechen wolle? Wie soll das im Falle des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch möglich sein? Denn der Versuch, dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch zu widersprechen, verwandelt sich selbst - so scheint es - in einen Fall der Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch. Wenn bestritten wird, dass der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch gilt, dann wird offenbar behauptet, dass er nicht gilt. Diese Behauptung wird der Behauptung entgegengestellt, dass er immer gilt. Es ist also ein Fall, indem dem Satz vom Widerspruch widersprochen wird, wobei offenbar zugleich vorausgesetzt wird, dass er entweder gilt oder nicht gilt. Mithin widerspreche ich dem Satz vom Widerspruch, und setze zugleich seine Wahrheit voraus. Denn die Bestreitung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch wäre selbst ein Fall des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch und würde ihn auf diese Weise bestätigen. Die Selbstzweifel einer dialektischen Philosophie, die dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch widersprechen wollte, sind also alles andere als unangebracht. Dem Satz vom Widerspruch unmittelbar widersprechen zu wollen, ohne ihn selbst in seiner Wahrheit vorauszusetzen, ist unmöglich.

Der Dialektiker hat sich also womöglich geirrt und muss sich umgekehrt fragen, ob er nicht verblendet war, als der dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch widersprach. Vielleicht stimmt der Satz ja doch? Der Dialektiker wird also vom Vertreter der formalen Logik lernen. Er wird sich mit der Begründung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch befassen.

4. Die Begründung des Aristoteles

Warum also gilt der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch immer? Auf diese Frage hin wird der formale Logiker nachdenklich bemerken: Das ist nicht einfach zu sagen, oder vielleicht besser: Es ist ganz einfach zu sagen. Man kann den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch gar nicht begründen. Denn eine unmittelbare Begründung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch würde ihn genauso voraussetzen wie seine Bestreitung. Es kann also nicht darum gehen, den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch unmittelbar zu begründen oder zu bestreiten. Aber es gibt ein zwingendes Argument für den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Wir können nicht miteinander sprechen, wenn wir den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch nicht anerkennen. Dieses Argument hat Aristoteles entwickelt. Da es zu den klassischen Argumenten der Philosophiegeschichte gehört, wird es hier zitiert und ein wenig kommentiert. Es wird - mit neuen Fremdwörtern versehen - im Prinzip bis heute genauso vorgetragen, wie Aristoteles es gebracht hat.Aristoteles beginnt seine Argumentation so

"Nun gibt es aber, wie gesagt, einige, welche es für möglich erklären, dass 
dasselbe sei und nicht sei und das man dies so annehme.Auch viele von den 
Physikern bedienen sich dieses Satzes. Wir dagegen haben angenommen, es sei  
unmöglich, dass etwas zugleich sei und nicht sei, und haben hieraus erwiesen, 
dass dies das sicherste unter allen Prinzipien ist. Manche verlangen nun aus 
Mangel an Bildung, man solle auch dies beweisen; denn Mangel an Bildung ist 
es, wenn man nicht weiß, wofür ein Beweis zu suchen ist und wofür nicht. Denn 
dass es für überhaupt alles einen Beweis gebe, ist unmöglich, sonst würde ja 
ein Fortschritt ins Unendliche eintreten und auch so kein Beweis stattfinden. 
Wenn aber für manches kein Beweis gesucht werden darf, so möchten sie wohl 
nicht angeben können, was sie denn mit mehr Recht für ein solches Prinzip 
halten wollten.   
 

Einige bestreiten den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch. Aristoteles und seine Schule aber behaupten ihn, und behaupten sogar, dass er das sicherste aller Prinzipien sei. Manche verlangen einen Beweis, und zeigen dadurch ihre mangelnde Bildung. Denn offenbar wissen sie nicht, dass man nicht alles beweisen kann, weil man Voraussetzungen braucht, aus denen man Beweise führen kann. Wollte man diese Voraussetzungen wieder zu beweisen versuchen, so bedürfe dies weiterer Voraussetzungen usw. usf. ins Unendliche. Wenn aber die Beweiskette in eine Unendlichkeit zurückgeht, dann hängt sie in der Luft. Sie verliert ihren Beweischarakter. Also muss das Beweisen von irgendetwas ausgehen, was selbst nicht beweisbar ist. Man muss wissen, was man beweisen kann und was nicht. Sonst zeigt man sich als ungebildet. Und was könnte mehr Recht auf den Status eines Prinzips haben, als der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch. Ein direkter Beweis scheidet also aus. Aber da es sowieso Unbeweisbares geben muss, woraus nämlich Beweise letztlich geführt werden, so ist schwer zu sehen, warum dieses Prinzip nicht dazu gehören soll. Aber mit dieser Argumentation ist Aristoteles nicht zufrieden. Denn auch wenn ein direkter Beweis nicht geführt werden kann, so doch ein negativer. Aristoteles fährt daher fort:

"Doch ein widerlegender Beweis für die Unmöglichkeit der Behauptung lässt 
sich führen, sobald der dagegen Streitende nur überhaupt redet; wo aber nicht, 
so wäre es ja lächerlich, gegen den reden zu wollen, der über nichts rede 
steht, gerade insofern er nicht Rede steht; denn ein solcher ist einer Pflanze 
gleich. Den widerlegenden Beweis unterscheide ich von dem eigentlichen 
direkten Beweis; wollte man diesen führen, so würde man das zu erweisende 
vorauszusetzen scheinen; ist aber der andere, streitende schuld daran, so 
ergibt sich eine Widerlegung, aber nicht ein eigentlicher Beweis." 

Aristoteles unterscheidet nun einen direkten von einem indirekten oder widerlegenden Beweis. Während der direkte Beweis das zu Beweisende voraussetzen würde, entfällt diese Form des Beweises. Die indirekte Form des Beweises ist an eine Voraussetzung gebunden. Der dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch Bestreitende muss sprechen. Wenn er erst einmal spricht, so Aristoteles, dann ist er verloren. Wenn er aber nicht spricht, dann ist er nicht nur ungebildet, sondern überhaupt nicht ernst zu nehmen. Denn dann wäre er ja stumm wie eine "Pflanze". Man könnte mit ihm nicht streiten. Wenn er aber spricht, dann ist er schuld am Gespräch und also auch an den Bedingungen des Gesprächs, und dazu gehört eben auch der Satz vom Widerspruch. Aristoteles fährt fort:

"Der Ausgangspunkt bei allen derartigen Diskussionen ist nicht, dass man vom 
Gegner verlangt, er solle erklären, dass etwas sei oder nicht sei (denn dies 
würde man schon für eine Annahme des zu Beweisenden ansehen), sondern dass er 
im Reden etwas bezeichne für sich wie für einen anderen; denn das ist ja 
notwendig, sofern er überhaupt etwas reden will. Wo nicht, so hätte ja ein 
solcher gar keine Rede, weder zu sich selbst, noch zu einem anderen. Gibt 
jemand einmal dies zu, so lässt sich ihm auch die Wahrheit des Axioms 
erweisen; denn es ist dann schon etwas fest bestimmt. Die Grundlage zum 
Beweisen aber gibt nicht der Beweisende, sondern der, welcher Rede steht; denn 
er steht Rede, obgleich er doch die Rede aufhebt." 

Man darf also - so rät Aristoteles - nicht selbst etwas verlangen, sondern muss abwarten, bis der Gegner etwas sagen will. Denn wenn er etwas sagt, dann muss er dazu etwas fest bestimmen, oder wie man auch sagt, fixieren. Sonst könnte er davon nicht sprechen. Wenn er nichts sagen will, kann er gar nicht sprechen und ist wie eine Pflanze. Wenn er etwas fest bestimmen muss, dann ist er in er Falle. Den n dann muss er dies, was er fest bestimmt hat, behaupten und kann es nicht zugleich bestreiten. Der Satz vom Widerspruch gilt also, weil es notwendig ist, etwas zu fixieren, "fest zu bestimmen", wenn man davon sprechen will.

Der Gegner wird zunächst als ungebildet bezeichnet, dann zur Pflanze degradiert, und dann mit einem indirekten Argument überführt. Aber zunächst gibt Aristoteles zu, dass sein erstes Argument für wie gegen den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch gilt. Er lässt sich unmittelbar weder beweisen noch bestreiten. Es hängt mit der Sprache zusammen, dass man sich - um sich in ihr mitzuteilen oder sich in ihr mit sich selbst zu verständigen - etwas fest bestimmen und dann als so bestimmt behaupten muss, um es bezeichnen zu können. Wer also sprechen will, der muss dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch folgen.

5. Probleme mit dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch

Das Argument von Aristoteles ist - wenn auch nicht gerade angenehm und schön, so doch - stark. Und man wird zugeben müssen: Wenn es in einem Gespräch um das "Recht haben" geht, dann ist der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch unabdingbar notwendig und gültig. Wieso bestreitet dann aber die dialektische Philosophie die universelle Gültigkeit des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch? Mit dieser Frage wendet man sich an die dialektische philosophische Tradition, die sich - so ist zu erwarten - mit diesem Problem auch schon auseinandersetzen musste. Vielleicht gewinnt man aus den dabei entwickelten Argumenten einen Zugriff auf die Frage, was sich gegen die universelle Geltung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch anführen lässt.

Danach kann man versuchen, mit Vertretern des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch in einer Form zu sprechen, die als solche nicht unbedingt eine Bestätigung des Satzes ist, dem man seine universelle Gültigkeit absprechen will, wie Aristoteles dies behauptet. Denn um Wissenschaft betreiben zu können, muss man - darin ist Aristoteles zuzustimmen - sprechen. Es widerspricht dem Gedanken der Wissenschaft, dass sie nicht vermittelbar sein soll. Wissenschaft bedarf der Sprache, um vermittelbar zu sein. Also kann man die Sprache nicht aufgeben und den Vertretern des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch überlassen, ohne den Anspruch auf Rationalität und Wissenschaftlichkeit aufzugeben. Aber die Form, die Sprache zu verwenden, auf die sich Aristoteles bezieht, ist vielleicht nicht die einzige Form wissenschaftlichen Sprechens, sondern nur eine spezifische. Wenn also die Argumente gegen den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch klar und deutlich sind, dann ist es vielleicht auch möglich, über einen anderen Sprachgebrauch in der Wissenschaft nachzudenken, als den von Aristoteles hier als Argument angeführten.

Es können nicht alle Probleme, die in der Tradition aufgeworfen wurden, hier angeführt werden. Das Interesse muss sich auf drei wesentliche Probleme, nämlich das Denken der Bewegung, des Verhältnisses und der Entwicklung beschränken. (Für die Hegelsche Philosophie kommt ein wichtiges Problem dazu, das hier als solches nicht behandelt wird, nämlich das Denken des Denkens.) Es werden jedoch prinzipielle Fälle herausgegriffen. Um genau zu sein, - wie das in der Philosophie eigentlich notwendig wäre - müssten die Gedankenformen auseinander entwickelt werden. Dieser - an sich berechtigte - Anspruch kann hier nicht eingelöst werden.

5. a. Der fliegende und ruhende Pfeil

Aristoteles war nicht der erste Philosoph, der den Satz vom zu vermeidenden Widerspruch formuliert hat. Am Anfang dieser Entwicklung steht vielmehr der Philosoph, der die Philosophie als Wissenschaft begründet hat (wenn man die Philosophie als Wissenschaft anerkennen will). Dieser Philosoph war Parmenides, der um ca. 500 vor Christus ein philosophisches Lehrgedicht verfasst hat, in dem er den Satz vom zu vermeidenden Widerspruch vorbereitet. (Parmenides gehört zu den sogenannten Vorsokratikern, die uns nur durch Fragmente und Beschreibungen in Schriften anderer Philosophen bekannt sind. Diese Zitate und Beschreibungen der philosophischen Position der Vorsokratiker sind in einem Werk der Altphilologen Diels und Kranz herausgegeben worden. In diesem Werk sind die Zitate der Philosophen unter einer Nummer, die für den Namen des Philosophen steht, dem A für Originalzitate und einer Nummer für das bestimmte Zitat gesammelt. Handelt es sich um eine Beschreibung seines Lebens oder seiner Position durch einen anderen Schriftsteller, so wird an der Stelle des A für Originaltexte ein B für Wiedergaben durch andere Schriftsteller gesetzt. In dieser Form werden diese Zitate heute angeführt. (z.B. DK 28, B 28).) Parmenides formuliert seine Philosophie in einem Lehrgedicht, das zu zahlreichen Reflexionen Anlass gibt. Für den gegenwärtigen Zusammenhang sind vor allem zwei Positionen des Parmenides von Bedeutung. Die erste Formulierung benennt das wissenschaftliche Prinzip des Parmenides. Der Kirchenvater Clemens von Alexandria fasst es so zusammen: "Denn dasselbe ist Denken und Sein". (DK, 28 B 3) Dieser Satz wird in den verschiedensten Wendungen wiedergegeben. Wie immer er interpretiert werden kann: Er besagt zunächst nichts anderes als, dass nur das ist, was auch gedacht werden kann. Alles andere hat keine wahre Wirklichkeit; es ist nur Schein, d.h. es sieht - wenn auch vielleicht aus objektiven Gründen - nur so aus, als ob es wäre. Es ist nur, was auch gedacht werden kann, und was nicht gedacht werden kann, das ist auch nicht.

Der zweite Satz bereitet den Satz vom zu vermeidenden Widerspruch vor. Diesen Satz formuliert Parmenides nach Simplikios folgendermaßen: "Denn das Sein ist und das Nichtsein ist nicht". (DK, 28, B 6) Dieser Satz dient Parmenides zur Grundlage der Entscheidung, ob etwas ist oder nicht. Alles, was ein Sein des Nichtseins voraussetzt, ist nicht. Zum Beispiel gibt es die Bewegung in Wahrheit nicht, weil die Bewegung bedeutet, dass etwas hinterher nicht an dem Ort ist, an dem es vorher war. Bewegung setzt also Verneinung voraus. Da es Verneinung nicht geben kann (denn das Nichtsein ist nicht), kann es auch Bewegung nicht geben. Also gibt es Bewegung nicht, denn sie lässt sich nicht denken.

Man kann nun auf diese Überlegungen reagieren, indem man Sache beiseite legt und sich denkt: Die Philosophen sind eben merkwürdige Leute. Die denken, weil sie etwas nicht denken können, kann es das auch nicht geben. Das so eine Art Berufskrankheit. So kann man es sehen. Man kann aber auch umgekehrt folgendermaßen reagieren: So hat die Philosophie angefangen! Aber dabei kann es nicht geblieben sein. Wie ist es denn weiter gegangen? Für die Betrachtung philosophischer Gedanken ist die Bereitschaft nützlich, auch "falsche" Gedanken zu durchdenken, weil man nur durch die gedankliche Überwindung des Falschen zur Wahrheit kommt.

Dem Argument des Parmenides wurde, wie nicht anders zu erwarten ist, von Anfang an widersprochen. Zenon von Elea, ein Schüler des Parmenides, wollte es mit mehreren Beweisen stützen, die als die sogenannten Zenonischen Paradoxien in die Geschichte der Philosophie eingegangen sind. (Am berühmtesten und anschaulichsten ist die Geschichte, dass der schnellfüßige Achill die langsame Schildkröte dann nicht einholt, geschweige denn überholt, wenn die Schildkröte einen Vorsprung hat.) Eine der Paradoxien ist der sogenannte fliegende Pfeil. Zenon analysiert darin die Widersprüche des Begriffs der Bewegung, um dadurch zu beweisen, dass es Bewegung nicht geben kann, wie ja schon Parmenides behauptete. Die Beweisführung geht folgendermaßen vor sich: Ein Pfeil soll angeblich fliegen. Dann würde er sich in der Zeit t(1) bis t(n) von dem Ort P(1) zum Ort P(n) bewegen. Nimmt man aus dem Zeitraum t(1) bis t(n) einen beliebigen Zeitpunkt heraus, zum Beispiel t(i), so befindet sich der Pfeil an dem Ort P(i). Er bewegt sich nicht zum Zeitpunkt t(i), sondern ruht am Ort P(i). Nimmt man einen anderen Zeitpunkt, etwa t(j), so ruht der Pfeil an dem Ort P(j), und nimmt man schließlich den Zeitpunkt t(k), so ruht der Pfeil an dem Ort P(k). Welchen Zeitpunkt auch immer man heraus greift: Immer ruht der Pfeil an einem bestimmten Ort. Es gibt keinen Zeitpunkt, zu dem der Pfeil nicht ruht. Also bewegt er sich niemals. Er scheint sich bloß zu bewegen, aber er bewegt sich nicht. Der antike Philosophiegeschichtler Diogenes Laertios fasst das Argument Zenons so zusammen: "Zenon hebt die Bewegung auf, indem er sagt, das Sichbewegende bewegt sich weder an dem Ort, wo es ist, noch an dem, wo es nicht ist." (DK 29 B 4) Demnach würde sich also das Sichbewegende überhaupt nicht bewegen, und das führt zu einem Widerspruch gegen die Voraussetzung, dass es sich bewegen soll. Also kann es Bewegung in Wahrheit nicht geben.

Dass dieser Beweis falsch ist, scheint festzustehen. Aber warum ist er falsch? Man kann sich nun sagen: Weil er nicht empirisch ist. Anstatt zu denken, sollte man lieber hinschauen. Und dann auf das philosophische Denken verzichten. Oder man kann sich die Widerlegung praktisch darstellen, indem man - anstatt zu diskutieren - aufsteht und sich bewegt, wodurch man sich und anderen praktisch zeigt, dass es möglich ist, sich zu bewegen. Oder man kann sich mit den gedanklichen Voraussetzungen beschäftigen, die Zenon zu diesem Beweise führen. Eine solche Widerlegung ist im eigentlichen Sinne eine philosophische Widerlegung. Zewon setzt in seinem Beweis voraus, dass man den Zeitpunkt t(i) festlegen kann. (Diese Voraussetzung greifen Aristoteles und Hegel mit Recht an. Hier soll diese Voraussetzung aber mitgemacht werden.) Dieser Zeitpunkt hat keine Ausdehnung. Zu diesem Zeitpunkt muss der Pfeil an einem bestimmten Ort sein. Denn aufgrund der Ausdehnungslosigkeit des Zeitpunktes kann der Pfeil sich nicht an verschiedenen Orten befinden. Denn das würde dem Satz vom zu vermeidenden Widerspruch widersprechen. Also kann es Bewegung nicht geben.

Der Zeitpunkt t(i) soll also fixiert sein. Dann soll der Pfeil auch an dem Ort P(i) fixiert sein. Da der Zeitpunkt beliebig gewählt werden kann, kann er in eine Variable verwandelt werden. Zum Zeitpunkt t(x) ruht der Pfeil am Ort P(x), wobei sich t(x) und P(x) entsprechen sollen. Da alle Zeitpunkte während der Bewegung Fälle von T(x) sind, sind auch alle Orte der Bewegung Fälle von P(x). Damit Bewegung denkbar ist, muss gedacht werden können, dass der Pfeil zum Zeitpunkt t(x) an dem ihm entsprechenden Ort P8x) ist und nicht ist zugleich. Sonst kann die Bewegung des Pfeils nicht gedacht werden. Denn sonst ergibt sich nur eine - vielleicht unendliche - Reihung von ruhigen Zuständen, die aber keine Bewegung zu denken möglich macht. Bewegung würde andernfalls als ein Fall von Ruhe gedacht, d.h. Bewegung würde als eine unendliche Reihung unbewegter Zustände gedacht. Bewegung wird also auf diese Weise als Ruhe, als ihr eigenes Gegenteil gedacht. (Die Bewegung schlägt durch die Form des Denkens in ihr eigenes Gegenteil um.)

Soll die Bewegung als Bewegung gedacht werden und zugleich der Zeitpunkt t(i) fixiert werden, so muss man einräumen, dass der Widerspruch zu denken ist. Der Pfeil muss dann an dem Ort P(i) sein und nicht sein, sonst ist es nicht möglich, Bewegung zu denken. Da alle Prozesse auf Bewegungen abbildbar sind, gilt das für alle Prozesse. Und da es nichts gibt, was nicht ein Prozess wäre (was also nicht Anfang und Ende hätte oder Einheit von Sein und Nichtsein wäre), gilt das für alles, was es gibt. Hegel drückt dies in seiner Logik so aus: "Es muss dasselbe ... vom Sein und Nichts gesagt werden, dass es nirgends im Himmel und auf Erden etwas gebe, was nicht beides, Sein und Nichts, in sich enthielte." Hegel, Wissenschaft der Logik Band 1, in: Hegel, Werke in 20 Bänden, Suhrkamp Theorie Werkausgabe, S. 86). Es gibt nichts, was nicht einen Widerspruch enthielte; denn es gibt nichts, was nicht in Wahrheit ein Prozess wäre, d.h. was nicht einen Anfang und ein Ende hätte.

Alles, was in Bewegung ist - und alles, was es gibt, ist in Bewegung -, enthält einen Widerspruch. Man kann es allerdings so betrachten, als wäre es nicht in Bewegung, und man muss es so betrachten, um es - unabhängig von seiner eigenen Entwicklung - bestimmen zu können. Um die Bewegung zu denken, muss man den Satz vom Widerspruch einerseits anwenden, andererseits ihm widersprechen, beides zugleich.

5. b. "Größer sein" und "kleiner sein"

Was für die Bewegungen und Prozesse gilt, trifft auch für Verhältnisse zu. Um das Problem aufzuzeigen, ist es vielleicht am einfachsten, man nimmt einen Beispielsatz, der in der analytischen Philosophie berühmt ist. So ein Beispielsatz ist etwa der Satz: "Die Sonne ist größer als die Erde." Dieser Satz bezeichnet ein Größenverhältnis, nämlich dies, dass die Sonne größer ist als die Erde, aber er tut dies von der Sonne aus. Er geht von der Sonne aus und setzt die Erde als Maßstab, mit dem sie ihre Größe vergleicht. Es stellt sich heraus: Die Erde nicht so groß ist wie die Sonne. Damit verkehrt sich zugleich das Verhältnis in sich selbst. Denn vom Standpunkt der Erde betrachtet ist das Größenverhältnis auf diese Weise einseitig gedacht. Wird dasselbe Größenverhältnis von der Erde aus gedacht, so wird die Größe der Erde als Maßstab genommen und mit der Größe der Sonne verglichen. Es stellt sich dasselbe Größenverhältnis in dem Satz: "Die Erde ist kleiner als die Sonne." dar. Das Größenverhältnis als solches ist also weder in dem einen noch in dem anderen Satz vollständig ausgedrückt. Beide Sätze formulieren das Größenverhältnis nur einseitig, nämlich nur von einem Standpunkt aus.

Dieser Standpunkt ist keineswegs ein dem Größenverhältnis äußerlicher Standpunkt, sondern er ist im Gegenteil einer, der in dem Größenverhältnis selbst liegt. Denn es stellt sich dar als die Beziehung zwischen zwei Gegenständen hinsichtlich ihrer Größe. Es liegt daher - wenn man so will - in der Natur des Verhältnisses, dass es sowohl von dem einen als auch von dem anderen Gegenstand aus betrachtet werden kann. Es gibt also aus logischen Gründen zwei Gesichtspunkte, von denen aus das Verhältnis formuliert werden kann. Das eine Größenverhältnis wird daher notwendig formuliert als ein Verhältnis des "Größerseins" einerseits und ein Verhältnis des "Kleinerseins" andererseits. Genau genommen muss man, um das Verhältnis vollständig auszudrücken, beide Gesichtspunkte formulieren oder denken. Dann aber behandelt man das eine Größenverhältnis als zwei, einerseits ein "Größersein" und andererseits ein "Kleinersein". Es entsteht bei dem Versuch der vollständigen Formulierung des Größenverhältnisses eine Formulierung, die zwei Größenverhältnisse zu formulieren scheint. Das eine Größenverhältnis stellt sich in den Formulierungen "Die Sonne ist größer als die Erde." und "Die Erde ist kleiner als die Sonne." vollständig dar. Es erscheint in der logischen Form zweier Größenverhältnisse. Es handelt sich jedoch nur um zwei entgegengesetzte Betrachtungsweisen des einen Größenverhältnisses, so dass der Eindruck, dass es sich um zwei Größenverhältnisse handelt, zugleich verneint werden muss: Es sind nicht zwei Größenverhältnisse, sondern ein und dasselbe.

Nun wird man sich die Frage stellen: Wozu der ganze Aufwand? Kann man nicht einfach sagen: Größenverhältnis x/y? Nein, das kann man nicht. Denn einer der beiden Gegenstände, die in dem Größenverhältnis stehen, gilt gewissermaßen als der Maßstab, in welchem ein anderer Gegenstand seine Größe ausdrückt. Also muss von dem zweiten der beiden Gegenstände ausgegangen werden, und je nachdem, welcher genommen wird, stellt sich dasselbe Größenverhältnis als ein Größersein oder als ein Kleinersein dar. Um also das bestimmte Verhältnis angeben zu können, - und darum handelt es sich ja - müssen die Gegenstände angegeben werden, die in dem bestimmten Größenverhältnis stehen. Es bedarf also sowohl der Verneinung der gedoppelten Formulierung des Größenverhältnisses, um das Verhältnis als solches zu denken, wie auch der Formulierung der beiden Aspekte des Größenverhältnisses, um es als bestimmtes Größenverhältnis denken zu können. Mit anderen Worten: Das Verständnis des Satzes "Die Sonne ist größer als die Erde." erfordert das Verständnis eines Widerspruchs. Man kann - wenn einem das nicht gefällt - so tun, als wäre das nicht so. Man kann davon abstrahieren, wenn man es nicht so genau nimmt. Aber man muss dann auch von seinem eigenen Tun im Denken abstrahieren. Um zu bestreiten, dass Widersprüche gedacht worden sind, muss man dieses Abstrahieren anschließend vergessen. Man gerät in eine Doppelung auch hinsichtlich seines eigenen Denkens, weil man sich sein eigenes Denken im Nachdenken über das eigene Denken anders denkt, als man wirklich denkt, obwohl es sich doch um dasselbe Denken handeln sollte.

Bei Größenverhältnissen mag dieses Problem nur einen ideellen Charakter haben, der für die Philosophie zwar ausreichend problematisch ist, in der Praxis aber angeblich nur eine untergeordnete Rolle spielt. Die oben angestellten Überlegungen gelten jedoch für alle Verhältnisse. Bei anderen Verhältnissen ist es durchaus von praktischer Bedeutung, dass beide Perspektiven einerseits zusammengenommen das ganze selbe Verhältnis sind, andererseits aber als zwei Aspekte gedacht werden können. Bei ökonomischen Krisen handelt es sich unter anderem um die Trennung von Kauf und Verkauf, die Krisen möglich machen. Bei dem Verhältnis der Menschen zur Natur geht es einerseits um ökonomische Verhältnisse, andererseits um ökologische Verhältnisse, und beide Verhältnisse sind ein und dasselbe Verhältnis, nur unter verschiedenen Gesichtspunkten nicht nur betrachtet, sondern auch behandelt. Diese Beispiele zeigen: Der Unterschied ist nicht nur ideeller Art, er ist ebenso praktischer Art - oder kann es jederzeit werden.

5. c. Entwicklung

Die zwei Fälle prinzipieller Natur, in denen sich der Satz vom zu vermeidenden Widerspruch als Hindernis darstellt, zeigen: Der Satz vom zu vermeidenden Widerspruch hilft nicht nur nicht. Seine Geltung vorausgesetzt, behindert er genau genommen, das zu denken, was zu denken ist. Der eine Fall ist die Bewegung, die Veränderung und überhaupt alle Prozesse. Der Satz vom zu vermeidenden Widerspruch erlaubt es nicht, Bewegung als "das zugleich an einem Ort Sein und nicht an diesem Ort Sein" zu denken. Der zweite Fall betrifft das Denken von Verhältnissen. Es gelingt nicht, das eine Verhältnis als eines auszudrücken und zugleich als ein bestimmtes Verhältnis zu denken; sondern es bedarf genau genommen zweier Ausdrücke - als den zwei Darstellungsformen desselben Verhältnisses - um dann durch die Verneinung der Zweiheit das eine Größenverhältnis zwar nicht sprachlich ausdrücken, aber doch immerhin denken zu können. Das Verhältnis selbst wird als die Verneinung der beiden Sätze gedacht, die jeweils eine der Perspektiven des Verhältnisses zum Ausdruck bringen. Es wäre jedoch nicht möglich, dieses Verhältnis als bestimmtes zu denken, wenn diese beiden Sätze nicht zugleich auch Bestand hätten. Der Satz vom zu vermeidenden Widerspruch gilt also und er gilt zugleich nicht. Nur so ist es möglich, das Verhältnis selbst bestimmt denken.

Der dritte Fall, den zu denken die Form des Satzes vom zu vermeidenden Widerspruch sprengt, ist der Gedanke der Entwicklung. Im Falle einer Entwicklung verändert sich etwas. Es bleibt sich - so scheint es - nicht gleich. Denn Veränderung setzt offenbar voraus, dass das Resultat der Veränderung sich von seiner Voraussetzung unterscheidet. Sonst hätte keine Veränderung stattgefunden. Der Gedanke der Entwicklung enthält den Gedanken der Veränderung, und also dies, dass das Resultat der Entwicklung ein anderes ist als der Ausgangspunkt der Entwicklung. Dies ist jedoch nur eine Seite des Gedankens der Entwicklung. Denn offenbar ist im Falle der Entwicklung etwas nur in Veränderung, um sich zu erhalten oder es erhält sich nur, indem es sich verändert. Die Veränderung erscheint als ein Ausdruck der Identität des Sich.Entwickelnden, obwohl doch Veränderung zu etwas Anderem führt als dem, wovon ausgegangen worden war. Das Sich Entwickelnde aber kann seine Identität nur dadurch wahren, dass es sich verändert. Die Veränderung ist in diesem Sinne gerade keine Veränderung, sondern Ausdruck der Identität. Die Identität wiederum ist nicht die "abstrakte Identität", die den Unterschied von sich ausschließt, sondern als eine sich verändernde Identität umfasst sie auch den Unterschied, und also auch die Veränderung, die so betrachtet der "einfachen, abstrakten Identität" entgegengesetzt ist, aber zugleich Moment der konkreten Identität ist, die sich in ihrer Veränderung zugleich erhält. Was soll das für eine Identität sein? Es ist - sagt Leibniz - die Identität als der Zusammenhang des Veränderungsprozesses selbst. Denn der Veränderungsprozess ist in sich selbst zusammenhängend und daher eine Einheit. Diese Einheit ist aber nicht eine Identität, die die Veränderung aus sich ausschließt, sondern im Gegenteil eine Identität, die Einheit der Veränderung selbst ist. Sie ist zugleich das Gegenteil ihrer selbst, ihr Widerspruch gegen sich selbst.

Der Begriff der Entwicklung ist der einer Identität, die sich nicht dadurch erhält, dass sie sich der Veränderung entzieht, sondern umgekehrt, dadurch, dass sie sich selbst verändert. Die Veränderung ist die Aktivität dessen, das als mit sich identisch gesetzt werden soll. Darin kehrt das Identische in sich zurück. Freilich bleibt auch diese Identität nur beschränkt, da ja das Lebewesen nicht ewig ist, sondern ebenfalls Einheit von Sein und Nichtsein ist, und in dem Sinne - wenn es erst einmal als existierend vorausgesetzt wird - vergeht. Das Leben eines Lebewesens ist ein Prozess. Aber die Identität des Lebewesens ist die in jeder Phase dieses Prozesses präsente Einheit dieses Prozesses, die die Individualität des Lebewesens ausmacht. Der Widerspruch muss also bei dem Gedanken des Lebewesens gedacht werden, und darauf allein kommt es im Moment an.

Die Widersprüche werden hier nicht konkret gedacht. Denn sie unterscheiden sich in der dialektischen Betrachtungsweise noch von den formallogischen Formen einen Widerspruch zu betrachten. Denn wenn alles, was es gibt den Widerspruch von Sein und Nichtsein an ihm hat, wie Hegel das behauptet,dann gibt es nichts als Prozesse, die sich aus den Widersprüchen ergeben, oder in denen die Widersprüche resultieren. In der dialektischen Philosophie sind Widersprüche zugleich die Triebkraft der Bewegung und der Entwicklung. Diese Seite der Betrachtung von Widersprüchen wird hier - wo es sich allein um das Verhältnis der Widerspruchspaare betrifft - nicht behandelt. Aus logischen Gründen wäre es aber an sich angezeigt, den Widerspruch auch als Entwicklungsprinzip zu denken.

6. Der Einwand seitens der formalen Logik

wird fortgesetzt